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四个基本子空间（Four Fundamental Subspaces）

在 线性代数 中，矩阵 A（通常是一个 m × n 矩阵）与其四个基本子空间密切相关，这些子空间描述了矩阵的结构以及方程组解的性质。四个基本子空间是：

列空间（Column Space），也叫值域（Range）零空间（Null Space），也叫核（Kernel）行空间（Row Space）左零空间（Left Null Space）

这四个子空间都与矩阵的秩、解的可解性、以及方程组的解结构密切相关。

1. 列空间（Column Space）

定义：列空间是矩阵 A 的所有列向量的线性组合所形成的空间。它描述了矩阵 A 所能生成的向量空间，通常称为值域（Range）。

符号表示：

Col(A)=span{列向量 a1,a2,…,an}

\text{Col}(A) = \text{span} \{ \text{列向量} \, \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n \}

Col(A)=span{列向量a1​,a2​,…,an​}

几何意义：列空间描述了矩阵 A 可以映射到的所有输出空间。当方程 Ax = b 有解时，向量 b 必须位于列空间中。

维数：列空间的维数称为矩阵 A 的秩（rank），即列空间中线性无关的列向量的个数。

例子：考虑矩阵：

A=(123456)

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

A=​135​246​​

列空间是由 A 的两列向量生成的：

Col(A)=span{(135),(246)}

\text{Col}(A) = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \right\}

Col(A)=span⎩⎨⎧​​135​​,​246​​⎭⎬⎫​

2. 零空间（Null Space）

定义：零空间是矩阵 A 的所有解 x 使得 Ax = 0。它描述了矩阵 A 映射到零向量的所有输入向量的集合。零空间也被称为核（Kernel）。

符号表示：

Null(A)={x∣Ax=0}

\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \mid A \mathbf{x} = 0 \}

Null(A)={x∣Ax=0}

几何意义：零空间中的向量是当通过矩阵 A 进行线性变换时会被映射到零向量的向量。

维数：零空间的维数称为零空间的维度，也叫做自由度，它等于矩阵 A 的列数减去矩阵的秩：

dim⁡(Null(A))=n−rank(A)

\dim(\text{Null}(A)) = n - \text{rank}(A)

dim(Null(A))=n−rank(A)

例子：考虑矩阵 A：

A=(1224)

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

A=(12​24​)

零空间是满足 Ax = 0 的所有向量。解方程：

(1224)(x1x2)=(00)

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

(12​24​)(x1​x2​​)=(00​)

得到解：x₂ = -0.5x₁，所以零空间是：

Null(A)=span{(2−1)}

\text{Null}(A) = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}

Null(A)=span{(2−1​)}

3. 行空间（Row Space）

定义：行空间是矩阵 A 的所有行向量的线性组合所形成的空间。它描述了矩阵 A 可以映射到的输入空间，或者说是矩阵的“行生成”空间。

符号表示：

Row(A)=span{行向量 r1,r2,…,rm}

\text{Row}(A) = \text{span} \{ \text{行向量} \, \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_m \}

Row(A)=span{行向量r1​,r2​,…,rm​}

几何意义：行空间是矩阵 A 的行向量所张成的空间。它与列空间类似，但作用方向相反，反映了矩阵操作下输入向量的组合结构。

维数：行空间的维数与列空间的维数相同，称为秩。

例子：考虑矩阵 A：

A=(123456)

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

A=(14​25​36​)

行空间是由 A 的两行向量生成的：

Row(A)=span{(123),(456)}

\text{Row}(A) = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \right\}

Row(A)=span{(1​2​3​),(4​5​6​)}

4. 左零空间（Left Null Space）

定义：左零空间是矩阵 A 的所有解 y 使得 Aᵀy = 0。也就是说，左零空间是矩阵 Aᵀ 的零空间，表示那些与矩阵 A 的行空间正交的向量。

符号表示：

Null(AT)={y∣ATy=0}

\text{Null}(A^T) = \{ \mathbf{y} \mid A^T \mathbf{y} = 0 \}

Null(AT)={y∣ATy=0}

几何意义：左零空间包含所有与矩阵 A 的行空间正交的向量。它描述了“在行空间中没有任何分量”的向量。

维数：左零空间的维数等于矩阵 A 的行数减去秩：

dim⁡(Null(AT))=m−rank(A)

\dim(\text{Null}(A^T)) = m - \text{rank}(A)

dim(Null(AT))=m−rank(A)

例子：考虑矩阵 A：

A=(1224)

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

A=(12​24​)

左零空间是满足 Aᵀy = 0 的所有向量。解方程：

(1224)T(y1y2)=(00)

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

(12​24​)T(y1​y2​​)=(00​)

得到解：y₂ = -0.5y₁，所以左零空间是：

Null(AT)=span{(2−1)}

\text{Null}(A^T) = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}

Null(AT)=span{(2−1​)}

总结：四个基本子空间

列空间 (Col(A))：由矩阵 A 的列向量生成的空间，表示矩阵的输出空间。零空间 (Null(A))：由所有使 Ax = 0 的向量组成的空间，表示矩阵 A 映射到零向量的输入空间。行空间 (Row(A))：由矩阵 A 的行向量生成的空间，描述矩阵的输入空间。左零空间 (Null(Aᵀ))：由所有使 Aᵀy = 0 的向量组成的空间，表示矩阵 A 行向量的正交补。

这四个子空间之间的关系与矩阵的秩、解的可解性等性质密切相关。理解它们有助于深入理解矩阵的结构以及如何求解相关的方程组。